Математика 7-8 клас

Програмні вимоги з математики

при вступі до Дніпропетровського ліцею інформаційних технологій при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара

Задачі вступного випробування за тематикою відповідають шкільній програмі з математики до 8 класу включно. Більшість із них – це задачі достатнього та підвищеного рівнів складності. Оскільки підхід до математичної освіти в ліцеї вимагає від майбутнього ліцеїста більш високого рівня компетентності, то успішне розв’язування деякої частини задач потребує від учня творчого підходу, володіння додатковими методами розв’язування задач, вміння аналізувати та узагальнювати. Діючі при ліцеї курси доліцейної підготовки при належному ставленні до навчання дають змогу в більшості реалізувати ці вимоги. Якщо ж до вступу до ліцею готуватися самостійно, то орієнтуватися потрібно насамперед на шкільні підручники, різноманітні збірники логічних задач та задач цікавої та веселої математики.

Вимоги до рівня підготовки учнів (7 клас)

1. Натуральні числа. Ознаки подільності. Прості та складені числа. Основна теорема арифметики. Найбільший спільний дільник (НСД) та найменше спільне кратне (НСК) натуральних чисел. Ділення натуральних чисел з остачею.

• виконує дії над числами без використання калькулятора;
• вміє подати натуральне число в десятковій системі числення;
• дає означення дільника числа, знає та використовує при розв’язуванні задач ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11;
• формулює означення простого та складеного числа, основну теорему арифметики, розкладає числа на прості множники;
• вміє подати будь-яке натуральне число А при його діленні на дільник k з остачею r у вигляді та знаходити по остачам НСД та НСК двох чисел;
• формулює означення та знаходить НСД та НСК двох, трьох чисел розкладом їх на прості множники та з використанням алгоритмів Евкліда;
• аналізує, установлює закономірності побудови ряду натуральних чисел.

2. Звичайні дроби. Основна властивість дробу. Порівняння дробів. Відношення і пропорції. Пряма та обернена пропорціональні залежності.

• виконує дії над звичайними дробами;
• вміє скорочувати та розширювати дроби;
• складає математичну модель прикладної задачі на знаходження частини цілого та розв’язує цю задачу;
• володіє основними методами порівняння дробів;
• дає означення пропорції, її основної властивості;
• застосовує властивості пропорції в задачах на пропорційний поділ натуральних і дробових чисел;
• розв’язує задачі на знаходження середнього арифметичного декількох чисел та середнього гармонічного двох чисел.

3. Цілі числа. Раціональні числа. Ціла та дробова частини раціонального числа. Координатна пряма, координати точки. Абсолют на величина (модуль) раціонального числа. Десяткові дроби. Перетворення звичайних дробів у десяткові і навпаки. Періодичні дроби. Прості та складені відсотки. Знаходження відсоткового відношення. Розв’язування задач на відсотки. Лінійні та стовпчасті діаграми, їх побудова.

• виконує без використання калькулятора та таблиць дії над цілими та раціональними числами;
• аналізує, установлює закономірності побудови ряду раціональних чисел;
• вміє знаходити цілу та дробову частини додатних та від’ємних раціональних чисел;
• зображує раціональні числа на числовій прямій, використовує ці зображення при порівнянні чисел;
• зображує на координатній площині точки по їх координатам, визначає координати точки по її зображенню на координатній площині;
• дає означення модуля раціонального числа, описує його геометричне тлумачення;
• вміє перетворювати десяткові періодичні дроби у звичайні;
• проводить відсоткові розрахунки, розв’язує текстові задачі на прості та складені відсотки (суміші, сплави, відсотковий вміст);
• будує лінійні та стовпчасті діаграми;
• розв’язує задачі на переливання та на зважування.

4. Степінь числа з натуральним показником. Властивості степеню з натуральним показником. Остання цифра степеню натурального числа.

• знає властивості степеню з цілим показником, які визначаються рівняннями, та застосовує їх при виконанні дій над степенями;
• застосовує властивості степеню в задачах на подільність чисел;
• знаходить останню цифру степеню натурального числа.

5. Елементи комбінаторики та теорії ймовірностей. Комбінаторні правила додавання та множення. Випадкові, вірогідні та неможливі події. Ймовірність випадкової події. Формула класичної ймовірності.

• складає різні комбінації з кінцевого числа елементів, підраховує число цих комбінацій простим перебором можливих варіантів, складає таблицю результатів перебору;
• застосовує комбінаторні правила додавання та множення при розв’язуванні найпростіших комбінаторних задач;
• має уявлення про випадкову, вірогідну та неможливу події, наводить приклади таких подій;
• формулює означення класичної ймовірності, використовує формулу класичної ймовірності при знаходженні ймовірності випадкової події.

6. Цілі раціональні вирази. Тотожні перетворення виразів. Одночлен. Многочлени. Розкладання многочленів на множники. Формули скороченого множення.

• володіє технікою тотожних перетворень цілих раціональних виразів;
• уміє записати одночлен і многочлен у стандартному вигляді;
• знає формули скороченого множення: ;
• володіє різними способами розкладання многочлена на множники ( винесення за дужки спільного множника, групування, використання формул скороченого множення);
• використовує формули скороченого множення при знаходженні значень числових виразів, в задачах на подільність.

7. Функції. Графік функції. Лінійна функція. Лінійні рівняння. Системи лінійних рівнянь з двома змінними. Задачі на складання лінійних рівнянь та систем лінійних рівнянь.

• знає і розуміє означення функції як особливу залежність між двома змінними;
• вміє знаходити значення функції за вказаним правилом при будь-якому значенні її аргументу;
• вміє по графіку функції описувати залежність між двома змінними;
• дає означення лінійної функції, будує її графік, знаходить лінійну функцію по заданим початковим умовам;
• дає означення лінійного рівняння, його кореня, розв’язує лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них, шляхом перетворенні цілих раціональних виразів;
• володіє способами розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними
  ( підстановки, додавання, графічний спосіб);
• складає математичну модель прикладної задачі, розв’язує задачі за допомогою лінійних рівнянь та систем лінійних рівнянь;
• розв’язує лінійні рівняння з двома змінними в цілих числах.

8. Найпростіші геометричні фігури на площині. Пряма і відрізок. Суміжні та вертикальні кути, їх властивості. Паралельні та перпендикулярні прямі. Ознаки паралельності прямих.

• формулює основні аксіоми планіметрії;
• дає означення відрізка, кута, бісектриси кута, будує їх;
• будує суміжні та вертикальні кути, обчислює їх величини ;
• формулює ознаки паралельності двох прямих, застосовує їх при розв’язування задач.

9. Трикутники. Ознаки рівності трикутників. Визначні лінії та точки трикутника. Нерівність трикутника.

• формулює ознаки рівності трикутників;
• визначає вид трикутника порівнянням довжин сторін та величин внутрішніх кутів, вміє побудувати трикутник за його кутами та сторонами;
• дає означення і проводить в трикутнику бісектрису, медіану, висоту;
• дає означення зовнішнього кута трикутника, знає його властивості, використовує їх при розв’язуванні задач;
• формулює нерівність трикутника, використовує цю нерівність в найпростіших екстремальних задачах (наприклад, у задачах на рух при знаходженні найкоротшого шляху);
• виконує найпростіші задачі на побудову: трикутника за його сторонами; кута, рівного даному; бісектриси кута; прямої, перпендикулярної даній прямі; поділ відрізка навпіл.

10. Коло і круг. Дотична до кола. Коло і трикутник.

• вміє побудувати коло заданого радіуса, провести в ньому хорду, діаметр та дотичну до кола у заданій точці;
• знає і використовує при розв’язуванні задач властивість дотичних, проведених із зовнішньої точки до кола;
• зображує два кола, які мають внутрішній та зовнішній дотик;
• дає означення вписаного в коло кута та центрального кута;
• вміє описати коло навколо заданого трикутника та вписати в заданий трикутник коло.

Вимоги до рівня підготовки учнів (8 клас)

1. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу 5 – 7 класів.

Вимоги до рівня знань учнів з тем попередніх років наведені в програмних вимогах для учнів 7 класу.

Додаткові вимоги для учнів 8 класу з цих тем наступні:

•  володіє методами доведення на подільність чисел та раціональних виразів з використанням алгоритмів Евкліда;
• знаходить цілу та дробову частини від’ємних чисел, частку і остачу при їх діленні;
• знає значення квадратів натуральних чисел від 1 до 30;
• виконує дії над степенями з від’ємними показниками;
• вміє ділити “кутом” многочлени з однією змінною, визначати частку та остачу при діленні, формулює умову рівності многочленів;
• володіє для многочленів з однією змінною методом виділення повного квадрату, знаходить найбільше та найменше значення многочленів;
• дає означення функції оберненої пропорціональності y = k/x та функції у = х², описує їх властивості, будує графіки;
• розв’язує найпростіші лінійні модульні рівняння з використанням означення модуля та його геометричного тлумачення, будує графіки лінійних функцій, які містять змінну величину під знаком модуля;
• розуміє поняття “параметр”, проводить аналіз наявності розв’язків лінійного рівняння в залежності від значень параметра, записує ці розв’язки;
• володіє методами розв’язку систем лінійних рівнянь, розв’язує системи лінійних рівнянь з параметром, спираючись на геометричну ілюстрацію систем лінійних рівнянь та їх розв’язків;

2. Квадратний корінь. Ірраціональні, дійсні числа. Модуль дійсного числа. Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу та степеню. Добуток і частка квадратних коренів. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені. Функція , її властивості, графік.

• формулює означення квадратного кореня з числа, арифметичного квадратного кореня з числа;
• описує поняття раціонального, ірраціонального та дійсного числа, наводить приклади таких чисел, знаходить числа, які задовольняють початковим умовам;
• установлює відповідність між точками числової прямої та множиною дійсних чисел;
• виконує дії над виразами, які містять арифметичні квадратні корені з числа в тому числі звільнення від ірраціональності в знаменнику (чисельнику) дробу;
• володіє алгоритмом добування квадратного кореня з числа;
• знає наближені значення найбільш поширених при проведені обчислень квадратних коренів із чисел 2, 3, 5, 10;
• проводить порівняння ірраціональних чисел;
• формулює означення арифметичного квадратного кореня через модуль дійсного числа;
• розв’язує вправи, які передбачають спрощення та обчислення числових виразів, які містять арифметичні квадратні корені;
• будує графік функції , описує її властивості.

3. Дробові алгебраїчні вирази. Область допустимих значень (ОДЗ) дробових та ірраціональних алгебраїчних виразів.

• розуміє значення ОДЗ при виконанні дій над алгебраїчними виразами, записує умови, які визначають ОДЗ, і знаходить числові набори змінних величин, при яких алгебраїчні вирази мають сенс;

• виконує тотожні перетворення дробових раціональних виразів;
• скорочує, порівнює дроби та знаходить їх значення (в тому числі найбільше та найменше) при певних початкових умовах;
• дає означення найпростішого раціонального дробу, вміє подати раціональний алгебраїчний дріб у вигляді суми ( різниці) найпростіших раціональних дробів;
• дає означення раціонального рівняння, рівносильних рівнянь та рівняння-наслідку;
• розв’язує раціональні рівняння та рівняння, що зводяться до них, найпростіші рівняння з параметром, модульні рівняння з використанням як алгебраїчних так і геометричних методів;
• створює математичні моделі прикладних задач, які містять дробові раціональні вирази, розв’язує ці задачі.

4. Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Умова існування розв’язків квадратного рівняння. Зведене квадратне рівняння. Пряма і обернена теореми Вієта. Рівняння та задачі, які зводяться до розв’язування квадратних рівнянь.

• формулює означення повного, неповного, зведеного квадратного рівняння ;
• володіє алгоритмами розв’язування неповних і повних квадратних, біквадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до квадратних;
• аналізує наявність розв’язків квадратного рівняння в залежності від знаку дискримінанта, а в рівняннях, що зводяться до квадратних, і від ОДЗ початкового рівняння;
• розкладає квадратний тричлен на лінійні множники;
• застосовує теорему Вієта в задачах на знаходження заданої залежності між коренями зведеного квадратного рівняння, складає квадратне рівняння з використанням оберненої теореми Вієта;
• розв’язує текстові задачі за допомогою квадратних рівнянь.

5. Чотирикутники: паралелограм, властивості, ознаки; прямокутник, ромб, квадрат, трапеція. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника. Вписаний кут, центральний кут. Вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники.

• формулює та використовує при розв’язуванні задач властивості паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата;
• формулює теорему Фалеса, означення середньої лінії трикутника і трапеції, застосовує властивості середньої лінії при розв’язуванні задач;
• формулює означення центрального кута кола та вписаного в коло кута, обґрунтовує залежність між цими кутами;
• установлює зв’язок між величинами центрального та вписаного кутів з градусною мірою дуги кола;
• доводить теореми про умови вписування в коло та описання навколо кола чотирикутника;

6. Подібність трикутників. Узагальнена теорема Фалеса. Ознаки подібності трикутників.

• формулює означення та ознаки подібності трикутників, в тому числі прямокутних трикутників;
• формулює узагальнену теорему Фалеса, застосовує теорему про пропорційні відрізки при розв’язуванні задач;
• з використанням подібності трикутників визначає основні метричні співвідношення в колі (залежність між відрізками хорд, дотичною та відрізками січної), використовує їх при розв’язуванні задач;
• знає та може обґрунтувати властивості бісектриси кута трикутника та точки перетину його медіан;

7. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора. Перпендикуляр та похила. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

• формулює теорему Піфагора та теорему, обернену до теореми Піфагора;
• дає означення перпендикуляра і похилої, установлює їх властивості;
• знає і використовує при розв’язуванні задач пропорційні залежності між відрізками в прямокутному трикутнику;
• формулює означення синуса, косинуса, тангенса та котангенса гострого кута прямокутного трикутника;
• записує основні тригонометричні тотожності та формули зведення;;
• знає тригонометричні функції кутів 30°, 45°, 60°;
• застосовує співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника при розв’язуванні задач.

8. Многокутники, площі многокутників. Ламана, її властивості. Сума кутів опуклого многокутника. Площа прямокутника, паралелограма, трикутника, ромба, трапеції. Відношення площ подібних трикутників. Метод площ.

• формулює означення ламаної, наводить її властивості;
• описує поняття многокутника, правильного многокутника, визначає його елементи та суму кутів;
• описує поняття площі многокутника, відрізняє поняття рівних та рівновеликих многокутників;
• записує формули для обчислення площ паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата, обчислює площі цих чотирикутників;
• володіє методом площ при розв’язуванні задач, знає залежність площ подібних трикутників від їх лінійних розмірів;

9. Геометричні перетворення. Рух фігури. Паралельне перенесення, симетрія відносно точки та прямої. Поворот.

• описує поняття перетворення на площині, руху фігури та основних його видів;
• вміє виконувати найпростіші побудови (точки, відрізка, прямої, трикутника) при паралельному перенесенні, симетричному відображенні відносно точки та прямої, а також при повороті;
• задає паралельне перенесення , симетрію відносно точки та прямої за допомогою прямокутних координат;
• має уявлення про застосуванні геометричних перетворень при розв’язуванні задач.